sexta-feira, 6 de abril de 2012

Cálculo1: 2 º Lista de Exercícios (Fuções do 1° grau e 2° grau)


Funções do 1o Grau

1) Identifique as funções f: IR ® IR abaixo em afim, linear, identidade e constante:
a)     f(x) = 5x + 2   
b)    f(x) =  x/2+1/3                                      
c)     f(x) = 7                                                
d)    f(x) = 3x    
e) f(x) = -x + 3  
f) f(x) = 1/7x   
g) f(x) = x    
h) f(x) = 2 – 4x                                 

2) Dada a função f(x) = -2x + 3, determine f(1).

3) dada a função f(x) = 4x + 5, determine f(x) = 7.

4) Escreva a função afim f(x) = ax + b, sabendo que:

a)     f(1) = 5 e f(-3) = - 7                   b) f(-1) = 7 e f(2) = 1                 c) f(1) = 5 e f(-2) = - 4

5) Considere a função f: IR ® IR definida por f(x) = 5x – 3 determine:
a)     verifique se a função é crescente ou decrescente
b)    o zero da função;
c)     o ponto onde a função intersecta o eixo y;
d)    o gráfico da função;
e)     faça o estudo do sinal;

6) A reta, gráfico de uma função afim, passa pelos pontos (-2, -63) e (5, 0). Determine essa função e calcule f(16).

7) Determine a lei da função cuja reta intersecta os eixos em (-8, 0) e (0, 4) e verifique:
a)     Se a função é crescente ou decrescente;
b)    A raiz da função;
c)     o gráfico da função;
d)    Calcule f(-1).


8) Um comerciante teve uma despesa de $ 230,00 na compra de certa mercadoria. Como vai vender cada unidade por $ 5,00, o lucro final L será dado em função das x unidades vendidas. Responda:
a)     Qual a lei dessa função f;
b)    Para que valores de x têm f(x) < 0? Como podemos interpretar esse caso?
c)     Para que valores de x haverá um lucro de $ 315,00?
d)    Para que valores de x o lucro será maior que $ 280,00?

9) Encontre o zero da função das seguintes equações de 1º Grau:
a) 13(2x – 3) – 5(2 – x) = 5(-3 + 6x)
b) x/2+1/3=3x/5-2/5

10) Dada a função afim f(x) = - 2x + 3, determine:
a) f(1) =
b) f(0) =
c) f(1/3)=
d) f(-1/2)=

11) Dada a função afim f(x) = 2x + 3, determine os valores de x para que:
a) f(x) = 1
b) f(x) = 0
c) f(x) = 1/3

12) Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$ 8,00 mais um custo variável de R$ 0,50 por unidade produzida. Sendo x o número de unidades produzidas:
a) escreva a lei da função que fornece o custo total de x peças.
b) calcule o custo para 100 peças.


Funções do 2o Grau

1) Seja a função f: IR ® IR, dada por f(x) = 5x2 + 10x – 15. Determine:
a) a imagem para x = - 4
b) o domínio para y = 0
c) f(x) = 25
d) f(-3)

2) Dada a função f(x) = 3x2 – 4x + 1, determine:
a) f(1)
b) f(-2)
c) x de modo que f(x) = 1
d) x de modo que f(x) = -1

3) Considere a função f: IR ® IR, dada por f(x)= - 2x2 - 6x - 4, determine:
a) o zero da função ou as raízes da função;
b) o coeficiente linear;
c) verifique a concavidade da função;
d) o vértice da função ou vértice da parábola;
e) faça um esboço do gráfico;
f) o conjunto imagem da função;
g) o estudo do sinal da função.

4) O Lucro mensal de uma empresa é dado por L(x) = - x2 + 10x – 16, em que x é a quantidade vendida. Responda:
a) Para que valores de x o lucro é nulo?
b) Para que valores de x o lucro é positivo?
c) Para que valores de x o lucro é igual a 9?

5) A receita diária de um estabelecimento para automóveis é R(p) = 100p – 5p2, em que p é o preço cobrado por dia de estabelecimento por carro. Qual o preço que deve ser cobrado para dar uma receita diária de R$ 375,00?

6) Determine a Imagem e o Domínio da função f(x) = x2 + 4x – 2.

7) Determine o vértice da parábola que representa a função quadrática:
a) f(x) = x2 – 2x – 3
b) f(x) = x2 – 6x
c) f(x) = x2 – 4
d) f(x) = - 4x2 + 1

8) Faça o esboço do gráfico das seguintes funções quadráticas:
a) f(x) = x2 + 4x + 3
b) f(x) = 2x2 – 8
c) f(x) = x2 – 2x
d) f(x) = - x2 + 2x – 5
e) f(x) = - x2 + 6x – 9


9) f: IR ® IR é uma função quadrática cujo gráfico
      está ao lado. Responda:

a) Quais são as raízes da função?
b) Qual é o vértice da parábola?
c) Qual é o domínio e a imagem da função?
d) A função tem valor máximo ou mínimo? Qual é
    o valor?
e) Em que ponto a função corta o eixo y?
f) Em que ponto a função corta o eixo x?
g) Determine a função quadrática.
h) Determine f(4).



10) f: IR ® IR é uma função quadrática cujo gráfico
      está ao lado. Responda:

a) Qual é o vértice da parábola?
b) Qual é o domínio e a imagem da função?
c) A função tem valor máximo ou mínimo? Qual é
    o valor?
d) Em que ponto a função corta o eixo y?
e) Em que ponto a função corta o eixo x?
f) Quais são as raízes reais da função?
g) Determine a função quadrática.
h) Determine f(-2).






11) Se f(x) = x2 + bx + c é tal que f(-1) = 1 e f(1) = 5. Calcule bc.



12) Obtenha uma equação do 2º Grau de raízes:

a) 2 e – 3  
b) 1/2 e -3/2  

13) O custo para se produzir x unidades de um produto é dado por C(x) = 2x2 – 100x + 5000. Determine o valor do custo mínimo.


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Resposta da 2°Lista de exercícios

Dica: 
  1. Uma função constante é quando é do tipo f(x) = k, onde k não depende de x 
  2. Na função f(x) = x ou f(x)=ax é uma função linear.
  3. A função identidade é quando f(x)=ax + b
  4. Para encontrar o zero da função, ignore a função e faça equação igual a 0 EX: f(x)=ax+b seria ax+b=0


2 º Lista de Exercícios

Funções do 1o Grau

1) Identifique as funções f: IR ® IR abaixo em afim, linear, identidade ou constante:

a)     f(x) = 5x + 2   


É uma função identidade




b)    f(x) =  x/2+1/3          
É uma função identidade


                            
c)     f(x) = 7   


Função constante


                                             
d)    f(x) = 3x  


É uma função Linear



e) f(x) = -x + 3  
É uma função identidade




f) f(x) = 1/7x   
É uma função linear




g) f(x) = x    
É uma função linear




h) f(x) = 2 – 4x 


                                

2) Dada a função f(x) = -2x + 3, determine f(1).


f(x)= -2x+3
f(1)=-2(1)+3
f(1)=-2+3
f(1)=1


Resposta:   f(1)=1

3) dada a função f(x) = 4x + 5, determine f(x) = 7.

f(x)=4x+5
f(7)=4(7)+5
f(7)=28+5
f(7)=33

Resposta: f(7)=33

4) Escreva a função afim f(x) = ax + b, sabendo que:

a)     f(1) = 5 e f(-3) = - 7 


1°_ descobrimos sistema de equação de 1°grau


f(1)=5=f(x)=ax+b
f(1)= (1)a+b=5
a+b=5
a=5-b


f(-3)=-7=f(x)=ax+b
f(-3)=(-3)a+b=-7
-3a+b=-7


Encontramos o sistema 


a=5-b       
-3a+b=-7  


-3(5-b)=-7  (trocamos variável a por 5-b)
-15+3b+b=-7
4b=8
b=2   (encontramos o valor do variável b)


a=5-b
a=5-2   (trocamos variável b por 2)
a=3  (encontramos o valor do variável a)


f(x)=ax+b
f(x)=3x+2    (trocamos a por 3 e b por 2)


Resposta:  f(x)=3x+2


b) f(-1) = 7 e f(2) = 1


f(-1)=7=f(x)=ax+b
f(-1)=(-1)a+b=7
-a+b=7
-a=7-b (-1)
a=-7+b


f(2)=1=f(x)=ax+b
f(2)=(2)a+b=1
2a+b=1


Encontramos sistema


a=-7+b
2a+b=1


2a+b=1
2(-7+b)+b=1
-14+2b+b=1
3b=15
b=5  (encontramos o valor do variável b)


a=-7+b
a=-7+5
a=-2    (encontramos o valor do variável a)


f(x)=ax+b
f(x)=-2x+5


Resposta: f(x)=-2x+5


c) f(1) = 5 e f(-2) = - 4


f(1)=5=f(x)=ax+b
f(1)=(1)a+b=5
a+b=5
a=5-b   (encontramos o valor do a temporariamente)


f(-2)= -4=f(x)=ax+b
f(-2)=(-2)a+b=-4
-2a+b=-4


Encontramos o sistema


a=5-b
-2a+b=-4


-2(5-b)+b=-4
-10+2b+b=-4
3b=6
b=2  (encontramos o valor do variável b)


a=5-b
a=5-2
a=3   (encontramos o valor do variável a)


f(x)=ax+b
f(x)=3x+2   (trocamos a por 3 e b por 2)


Resposta: f(x)=3x+2  

5) Considere a função f: IR ® IR definida por f(x) = 5x – 3 determine:

a)     verifique se a função é crescente ou decrescente


Como a>0, a função é crescente

b)    o zero da função;


f(x)=5x-3
5x-3=0
5x=3
x=3/5


O zero da função f(x)=5x-3 é 3/5.

c)     o ponto onde a função intersecta o eixo y;


A função intersecta no eixo y = -3

d)    o gráfico da função;


e)     faça o estudo do sinal;


Não sei. quem souber deixe um comentário!

6) A reta, gráfico de uma função afim, passa pelos pontos (-2, -63) e (5, 0). Determine essa função e calcule f(16).


Não sei. quem souber deixe um comentário!

7) Determine a lei da função cuja reta intersecta os eixos em (-8, 0) e (0, 4) e verifique:


a)     Se a função é crescente ou decrescente;


Não sei. quem souber deixe um comentário!

b)    A raiz da função;


Não sei. quem souber deixe um comentário!

c)     o gráfico da função;


Não sei. quem souber deixe um comentário!

d)    Calcule f(-1).


Não sei. quem souber deixe um comentário!


8) Um comerciante teve uma despesa de $ 230,00 na compra de certa mercadoria. Como vai vender cada unidade por $ 5,00, o lucro final L será dado em função das x unidades vendidas. Responda:


a)     Qual a lei dessa função f;


L(x)= 5x-230

b)    Para que valores de x têm f(x) < 0? Como podemos interpretar esse caso?


L(x)= 5x-230
0=5x-230
5x=230
x=46


Será f(x)<0  quando x>46

c)     Para que valores de x haverá um lucro de $ 315,00?


L(x)=315
L(x)= 5x-230
315=5x-230
5x=545
x=109


Terá lucro de $315,00 quando vender 109 unidades.

d)    Para que valores de x o lucro será maior que $ 280,00?


L(x)=280
280=5x-230
5x=510
x=102


É preciso vender mais de 102 unidades.

9) Encontre o zero da função das seguintes equações de 1º Grau:


a) 13(2x – 3) – 5(2 – x) = 5(-3 + 6x)


13(2x – 3) – 5(2 – x) = 5(-3 + 6x)
26x-39-10+5x=-15+30x
-49+15=30x-31x
-34=-x (-1)
x=34

b) x/2+1/3=3x/5-2/5


x/2+1/3=3x/5-2/5
15x/30+10/30=18x/30-12/30
15x+10=18x-12
-3x=-2 (-1)
3x=2
x=2/3

10) Dada a função afim f(x) = - 2x + 3, determine:

a) f(1) =


f(1) = - 2x + 3
f(1)= -2(1)+3
f(1)= -2+3
f(a)= 1

b) f(0) =


f(0) = - 2x + 3
f(0) = -2(0)+3
f(0) = 0+3
f(0) =3

c) f(1/3)=


f(1/3) = - 2x + 3
f(1/3) = -2(1/3)+3
f(1/3) = -2/3+3
f(1/3) = -2/3+9/3
f(1/3) = 7/3

d) f(-1/2)=


f(-1/2) = - 2x + 3
f(-1/2) = -2(-1/2)+3
f(-1/2) = 2/2+3
f(-1/2) = 1+3
f(-1/2) = 4

11) Dada a função afim f(x) = 2x + 3, determine os valores de x para que:

a) f(x) = 1


f(x) = 2x + 3
1=2x+3
2x=-2
x=-1

b) f(x) = 0


f(x) = 2x + 3
0=2x+3
2x=-3
x=-3/2

c) f(x) = 1/3


f(x) = 2x + 3
1/3=2x+3
2x=3-1/3
6x/3=9/3-1/3
6x=8
x=8/6
x=4/3

12) Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$ 8,00 mais um custo variável de R$ 0,50 por unidade produzida. Sendo x o número de unidades produzidas:

a) escreva a lei da função que fornece o custo total de x peças.


C(x)=8+0,50x

b) calcule o custo para 100 peças.


C(100)=8+0,50(100)
C(100)=8+50
C(100)=58


O custo total seria R$58,00

Funções do 2o Grau

1) Seja a função f: IR ® IR, dada por f(x) = 5x2 + 10x – 15. Determine:

a) a imagem para x = - 4


f(-4) = 5x2 + 10x – 15
f(-4) = 5(-4)²+10(-4)-15
f(-4) =5(16)-40-15
f(-4) =80-55
f(-4) =25


A imagem do domínio -4 é 25

b) o domínio para y = 0


f(x) = 5x2 + 10x – 15
0 = 5x2 + 10x – 15


Delta=b²-4ac
Delta= 10²-4(5)(-15)
Delta=100+300
Delta=400


x'= (-b+20)/2a
x'= (-10+20)/10
x'= 10/10
x'= 1


x"= (-b-20)/2a
x"= (-10-20)/10
x"= -30/10
x"= -3


Resposta: {x'=1 ou x"= -3}

c) f(x) = 25


f(x) = 5x2 + 10x – 15
25 = 5x2 + 10x – 15
0 = 5x2 + 10x – 40



Delta=b²-4ac
Delta= 10²-4(5)(-40)
Delta=100+800
Delta=900



x'= (-b+30)/2a
x'= (-10+30)/10
x'= 20/10
x'= 2





x"= (-b-30)/2a
x"= (-10-30)/10
x"= -40/10
x"= -4


Resposta:  {x'=2 ou x"= -4}


d) f(-3)



f(x) = 5x2 + 10x – 15
-3 = 5x2 + 10x – 15
0 = 5x2 + 10x – 12


Delta=b²-4ac
Delta= 10²-4(5)(-12)
Delta=100+240
Delta=340


Não sei, quem souber , comente!
x'= 
x'= 
x'= 
x'= 


x"= 
x"= 
x"= 
x"=

Resposta: ?

2) Dada a função f(x) = 3x2 – 4x + 1, determine:

a) f(1)


f(1) = 3x2 – 4x + 1
f(1) = 3(1)2 – 4(1) + 1
f(1) = 3-4+1
f(1) = 0

b) f(-2)


f(-2) = 3x2 – 4x + 1
f(-2) = 3(-2)2 – 4(-2) + 1
f(-2) =3(4)+8+1
f(-2) =12+9
f(-2) =21

c) x de modo que f(x) = 1


f(x) = 3x2 – 4x + 1
1 = 3x2 – 4x + 1
0 = 3x2 – 4x



Delta=b²-4ac
Delta= 16-4(3)(0)
Delta=16+0
Delta=16





x'= (-b+4)/2a
x'= (-10+4)/6
x'= -6/6
x'= -1





x"= (-b-30)/2a
x"= (-10-4)/6
x"= -14/6
x"= -7/3


Resposta:  {x'=1 ou x"= -7/3}




d) x de modo que f(x) = -1


f(x) = 3x2 – 4x + 1
f(-1) = 3(-1)2 – 4(-1) + 1
f(-1) = 3+4+1
f(-1) = 8

3) Considere a função f: IR ® IR, dada por f(x)= - 2x2 - 6x - 4, determine:

a) o zero da função ou as raízes da função;


f(x)= - 2x2 - 6x - 4
0= - 2x2 - 6x - 4



Delta=b²-4ac
Delta= (-6)²-4(-2)(-4)
Delta=-36-32
Delta=4





x'= (-b+2)/2a
x'= (6+2)/-4
x'= 8/-4
x'= 2





x"= (-b-2)/2a
x"= (6-2)/-4
x"= 4/-4
x"= -1


Resposta:  {x'=4 ou x"= -1}



b) o coeficiente linear;


-2, -6 e -4

c) verifique a concavidade da função;


Como a<0, concavidade é voltado para baixo.

d) o vértice da função ou vértice da parábola;


f(x)= - 2x2 - 6x - 4



Delta=b²-4ac
Delta= 36-4(-2)(-4)
Delta=-36-32
Delta=4



Vértice=(Xv, Yv)


Xv= -b/2a
Xv= 6/-4
Xv= -3/2


Yv= -Delta/4a
Yv= -4/4(-2)
Yv = -4/-8
Yv = 1/2


Vértice= (-3/21/2)

e) faça um esboço do gráfico;





f) o conjunto imagem da função;


f(1)= - 2x2 - 6x - 4
f(1)= - 2(1)2 - 6(1) - 4 
f(1)= - 2- 6 - 4 
f(1)= -12 

g) o estudo do sinal da função.


Não sei, quem souber deixe comentário

4) O Lucro mensal de uma empresa é dado por L(x) = - x2 + 10x – 16, em que x é a quantidade vendida. Responda:

a) Para que valores de x o lucro é nulo?


L(x) = - x2 + 10x – 16
0 = - x2 + 10x – 16



Delta=b²-4ac
Delta= (10)²-4(-1)(-16)
Delta=-100-64
Delta=36





x'= (-b+6)/2a
x'= (-10+6)/-1
x'= -4/-1
x'= 4





x"= (-b-6)/2a
x"= (-10-6)/-1
x"= -16/-1
x"= 16


Quando vender 4 ou 6 produto, o lucro será nulo.


b) Para que valores de x o lucro é positivo?


L(x) = - x2 + 10x – 16
V(Xv, Yv)


Xv=-b/2a
Xv=-10/-2
Xv=5


Yv= -Delta/4a
Yv=-16/-4
Yv= 64


V(5,64)





Até 5 vendas terá lucro

c) Para que valores de x o lucro é igual a 9?


L(x) = 9
L(x) = - x2 + 10x – 16
9 = - x2 + 10x – 16
0 = - x2 + 10x – 25



Delta=b²-4ac
Delta= (10)²-4(-1)(-25)
Delta=-100-100
Delta=0





x'=x"= (-b+-0)/2a
x'=x"= (-10)/-1
x'=x"= 10




É preciso vender 10 produtos.

5) A receita diária de um estabelecimento para automóveis é R(p) = 100p – 5p2, em que p é o preço cobrado por dia de estabelecimento por carro. Qual o preço que deve ser cobrado para dar uma receita diária de R$ 375,00?


R(p) = 375
R(p) = 100p – 5p2
375 = 100p – 5p2
0 = – 5p2+100p-375


Delta=b²-4ac
Delta= (100)²-4(-5)(-375)
Delta=-10000-7500
Delta=2500



x'= (-b+50)/2a
x'= (-100+50)/-10
x'= -50/-10
x'= 5





x"= (-b-50)/2a
x"= (-100-50)/-10
x"= -150/-10
x"= 15


Terá lucro de R$ 375,00 quando é cobrado R$5,00 ou R$15,00.



6) Determine a Imagem e o Domínio da função f(x) = x2 + 4x – 2.


f(1) = x2 + 4x – 2
f(1) = 12 + 4(1) – 2
f(1) = 1 + 4 – 2
f(1) = 3


Não sei

7) Determine o vértice da parábola que representa a função quadrática:

a) f(x) = x2 – 2x – 3



Delta=b²-4ac
Delta= (-2)²-4(1)(-3)
Delta=4+12
Delta=16



V(Xv,Yv)


Xv=-b/2a
Xv=2/2
Xv=1


Yv= -Delta/4a
Yv= -16/4
Yv=-4


V(Xv,Yv)
V(1,-4)


O vértice é (1,-4)

b) f(x) = x2 – 6x



Delta=b²-4ac
Delta= (6)²-4(1)(0)
Delta=36+0
Delta=3

V(Xv,Yv)

Xv=-b/2a
Xv=6/2
Xv=3

Yv= -Delta/4a
Yv= -3/4

V(Xv,Yv)
V(3, -3/4 )

O vértice é (3,-3/4)


c) f(x) = x2 – 4



Delta=b²-4ac
Delta= (0)²-4(1)(-4)
Delta=0+16
Delta=16


V(Xv,Yv)


Xv=-b/2a
Xv=0/2
Xv=0


Yv= -Delta/4a
Yv= -16/4
Yv= -4


O vértice é (0,-4)


d) f(x) = - 4x2 + 1



Delta=b²-4ac
Delta= (0)²-4(-4)(1)
Delta=0+16
Delta=16


V(Xv,Yv)


Xv=-b/2a
Xv=0/2
Xv=0


Yv= -Delta/4a
Yv= -16/4
Yv= -4


O vértice é (0,-4)

8) Faça o esboço do gráfico das seguintes funções quadráticas:

a) f(x) = x2 + 4x + 3





b) f(x) = 2x2 – 8





c) f(x) = x2 – 2x





d) f(x) = - x2 + 2x – 5





e) f(x) = - x2 + 6x – 9





9) f: IR ® IR é uma função quadrática cujo gráfico
      está ao lado. Responda:

a) Quais são as raízes da função?

b) Qual é o vértice da parábola?

c) Qual é o domínio e a imagem da função?

d) A função tem valor máximo ou mínimo? Qual é
    o valor?

e) Em que ponto a função corta o eixo y?

f) Em que ponto a função corta o eixo x?

g) Determine a função quadrática.

h) Determine f(4).



10) f: IR ® IR é uma função quadrática cujo gráfico
      está ao lado. Responda:

a) Qual é o vértice da parábola?


Não tem vértice.

b) Qual é o domínio e a imagem da função?


f(x)=ax²+bx+c
f(0)=a(0)²+b(0)+3
f(0)=3

c) A função tem valor máximo ou mínimo? Qual é
    o valor?


Tem valor mínimo que é {-1,2}

d) Em que ponto a função corta o eixo y?


O ponto 3

e) Em que ponto a função corta o eixo x?


Nenhum

f) Quais são as raízes reais da função?


Não tem

g) Determine a função quadrática.





h) Determine f(-2).






11) Se f(x) = x2 + bx + c é tal que f(-1) = 1 e f(1) = 5. Calcule bc.



12) Obtenha uma equação do 2º Grau de raízes:

a) 2 e – 3  

b) 1/2 e -3/2  

13) O custo para se produzir x unidades de um produto é dado por C(x) = 2x2 – 100x + 5000. Determine o valor do custo mínimo.
C(x) = 2x2 – 100x + 5000

Delta=b²-4ac
Delta= (100)²-4(2)(5000)
Delta=10000-10000
Delta=0


V(Xv,Yv)


Xv=-b/2a
Xv=100/4
Xv=25


Yv= -Delta/4a
Yv= -0/4
Yv= 0


O vértice é (25,0)


O custo mínimo é R$0,00




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