sábado, 21 de abril de 2012

7°série - Matemática3 - Calculando Radicais


Exercício P.55
1.     Nas expressões seguintes, identifique:   3√-8 , 10√1, 4√-16, 5√32, √49, 3√-125, √-1, 7√-1, 8√256

a)      As que são definidas no conjunto R;

Resposta: 3√-8, 5√32, 10√1, √49, 7√-1, 3√-125, 8√256

b)      As que não são definidas no conjunto R.

Resposta: √-1,  4√-16

2.     Diga se é definida ou não no conjunto R a raiz quadrada de :

a)     49 = 7
b)    121 = 11
c)     -25 = não é raiz quadrado
d)    64 = 8
e)     10 = não é raiz quadrado
f)      -9 = não é raiz quadrado

3.     Verifique se a expressão √(b²-4ac) representa um numero real quando a=10, b=-1 e c=-3.

√(b²-4ac) = √((-1)²-4(10)(-3)) = √(1+120) = √121 = 11

4.     Sendo x=5 e y=4, verifique se a expressão √(x²-y²) é definida no conjunto R

√(x²-y²) = √(5²-4²) = √(25-16) = √9 = 3

5.     Toda s as expressões a seguir são definidas no conjunto R. Então, calcule o valor de:




a)       √25
= 5

b)      √(-6)²
= √36
= √6²
= 6

c)         5√-32
= √(-2)5
= -2

d)       √0,001
= √0,1²
= 0,1

e)        -4√81
= -4√34
= -3
f)          -3√-8
= -3√(-2)³
= -2

g)         6√64
= 6√26
= 6

h)       -√(-2)²
= -√4
= -√2²

i)        √121
= 11

j)         -3√-125
= -³√(-5)³
= 5 


6.     Determine o valor das expressões numéricas:



a)        4√16 - 3√-8
=4√24 - 3√(-2)³
=2  – (-2)
=2+2
=4

b)      3√-125-4√1+√(-3)²
=3√(-5)³-4(1)+√9
=-5-4+3
=-9+3
=-6
c)       5√32 - 3√-27 + 6√1
=5√25 - 3√(-3)³ + 1
=2 – (-3) + 1
=2+3+1
=6

d)       7√-1-√16-3√-64
=7√(-1)7-√4²-3√(-4)³
=-1-4-(-4)
=-5+4
=-1
e)       (53√2³-3²) / (√6²+8²)
=(53√8-9) / (√36+64)
=(53√-1) / (√100)
=(53√(-1)-3) / (√10²)
=(5(-1)) / (10)
=(-5) / (10)
=-1/2

f)         √((-4)²+(-3)²) - 3√(-5²+17)
=√(16 + 9) - 3√(-25+17)
=√25 - 3√-8
=√5² - 3√(-2)³
=5-(-2)
=5+2
=7
1.     Use o sinal = ou ≠ para comparar os números reais a e b.  A=√36 + √64  e B=√(36+64)



A=√36 + √64
A=√6² + √8²
A=6+8
A=14
B=√(36+64)
B=√100
B=√10²
B=10


A(14) > B(10)

2.     Determine x, sabendo que
X=(-(-2)² - 3√-27) / (20-2)
X=(-4 - 3√(-3)³) / (1-2)
X=(-4-(-3)) / (-1)
X=(-4+3) / (-1)
X=(-1) / (-1)
X = 1

3.     Sendo x um número real positivo e y um número real positivo, simplifique a expressão:
  √x² * √y²
=√x²y²

Exercicio P.60
1.     Dê o valor de cada uma das expressões:


a)     √10²
=10

b)    5√35
=5

c)     9√29
=2

d)    3√73
=7

e)     6√(2x)6
=2x

f)          7√(2 * 5)7
=7√(10)7
=10

g)      √(5²)²
=√(25)²
=25

h)        4√(x²y)4
= x²y

2.     Decomponha o radicando em fatores primos e , em seguida, use a propriedade dos radicais aritméticos para encontrar o valor das expressões:

a)       √49
= 7

b)       6√729
=6√36
=3

c)        4√625
=4√54
=5

d)       10√1024
=10√210
=2

e)        4√81
=4√34
=3

f)         ³√343
√7³
=7
1.      Dividindo o índice do radical e o expoente do radicando por um mesmo numero, diferente de zero, simplifique os radicais:

a)        15√25
=3√2

b)        14√37
=2√3

c)         16√104
=4√10

d)        9√x6
=3√x2

e)     10√58
=5√54

f)          20√a12
=5√a³

g)       8√y4
=2√y1

h)       21√614
=3√62
2.     Determine o valor do numero x em cada uma das igualdades:

a)     14√28 = x√24
7√24 = x√24
x=7

b)    15√105 = 3√10x
3√10 = 3√10x
x=1
c)     8√54 = √5x
2√5 = √5x
x=1

d)    10√6x = 5√6
10√6x = 10√6²
x=2

3.     Decomponha o radicando em fatores primos e, em seguida, simplifique cada um dos radicais:

a)        10√32
=10√25
=2√2

b)       9√27
=9√3³
=3√3

c)        16√81
=16√34
=4√3

d)       6√16
=6√24
=3√2² ou 6√4

e)        8√64
=8√26
=4√2³  ou 4√8

f)         12√1024
=12√210
=6√25

4.     Escreva sob a forma de um único radical:
a)       √5√x
=10√x

b)      √√6
=4√6

c)        43√a
=12√a

d)       33√2
=9√2

e)        8√√10
=16√10

f)        √√√2
=8√2

5.     Escreva na forma mais simples possível:

a)     43√64
12√26
2√2

b)    5√243
10√35
2√3
6.     Sendo x um número real positivo, transforme em um único radical:


a)       √4√x
=8√x

b)        6√√2x
=12√2x

c)       √3√√x
=6√√x
=12√x

d)       73√x5
=21√x5

7.     Determine o número real x das igualdades:


a)     x6√10=24√10
6x√10=24√10
6x=24
X=4

b)    5x√3 = 15√3
5x√3 = 15√3
5x=15
X=3

8.     Escreva como um produto de radicais:


a)       √(5 * 7)
=√5 *√7

b)       ³√ax
=³√a * ³√x

c)         7√(3² * 11)
=7√3²  * 7√11

d)       6√(x * y)
=6√x *  6√y

e)        √2ab
=√2 * √a * √b

f)         ³√x²y
=³√x² * ³√y

9.     Decomponha o radicando em fatores primos e escreva cada expressão na forma de um produto de radicais:
a)        √10
=√(2 *5)
=√2 * √5

b)       6√21
=6√(3*7)
=6√3 * √7

c)        9√35
=9√(5 * 7)
=9√5 * 9√7

d)        7√30
=7√(2*3*5)
=7√2 * 7√3 * 7√5

e)        10√15
=10√3*5
=10√3 * 10√5

f)        ³√154
=³√(2*7*11)
=³√2 * ³√7 * ³√11


10.  Transforme em um único radical positivo, transforme em um único radical cada um dos produtosm simplificando o radical obtido:


a)       √3 * √5
=√15

b)      ³√2 * ³√7
=³√14

c)        6√3 * 6√13
=6√39

d)       √2*√5 * =√7
=√70

11.  Sendo x e y dois números reais positivos, transforme em um único radical cada um dos produtos, simplificando o radical obtido:


a)        12√x5  * 12√x
=12√x6
=2√x

b)       20√y3 * 20√y
=20√y4
=5√y
c)         15√x4y² * 15√xy³
=15√x5y5
=15√(xy)5
=3√xy
d)        14√y³ * 14√y³ * 14√y
=14√y7
=2√y

12.  Transforme em um quociente de radicais cada uma das expressões:

a)       √(11/6)
=√11 / √6

b)       ³√(7/5)
=³√7 ³ / √5

c)        8√(3/11)
=8√3 / 8√11

d)       √(13/2)
=√13 / √2
e)        6√(2/13)
=6√2 6 / √13

f)          7√(4/5)
=7√4 / 7√5
13.  Os números a e b são números reais positivos. Nessas condições, simplifique os radicais 6√a³ e 12√b6, calculando em seguida a expressão que representa o produto dos radicais obtidos.
  

6√a³
=²√a

   12√b6
=²√a


  ²√a * ²√a
=²√a²
=a



Exercicios P.64
1.     Simplifique os radicais retirando fatores do radicando. 


a)       √(2*72)
 =7√2

b)       5√(35*11)
=35√11 

c)        3√(2³*3*5³)
=2*5 3√3
=103√3

d)      √10³
=10√10 

e)       √27
=2³√2
=8√2

f)        ³√(2³*54)
=2*5³√5
=10³√5


2.     Os números x e y são numero reais positivos. Simplifique, então, os radicais, retirando fatores do radicando. 
a)       √x5
=x²√x

b)      ³√y4
=y  ³√y

c)       √x9
=x4 √x

d)       5√y12
=y² 5√y2

e)       √x²y³
=xy√y

f)          5√x5y7
=xy 5√y2

g)        9√y10
=y 9√y

h)       10√x13
=x 10√x3

3.     Você deve fatorar o numero que aparece no radicando. Em seguida, retirando fatores do radicando, simplifique os radicais. 


a)       √75
=√3*5²
=5√3

b)      √700
=√2² * 5² * 7
=10√7

c)        3√250
=3√2*5³
=5 3√2

d)       5√192
=5√26 * 3
=2 5√3*2
=2 5√6

e)        4√176
=4√24 * 11
=2 4√11 

f)        √800
=√25 * 5²
=2² * 5 √2
=20√2

g)       √1800
=√(2³ * 3² * 5²)
=2 * 3 * 5√2
=30√2

h)       3√375
=3√(3*5³)
=5 3√3

i)         √2700
=√(2² * 3³ * 5²)
=10√3

j)          6√640
=6√27 * 5
=2 6√10

4.     Se x=√5184, qual é o valor de x?

x=√5184
x=√(26 * 34)
x= 2³ * 3²
x=8 * 9
x=72

5.     Considerando que √2=1,14; √3=1,73; √5=2,23 e √6=2,44, simplifique cada um dos radicais e determine, na forma decimal, o valor de: 


a)        √50
=√(5² * 2)
=5√2
=5 * 1.41
=7,05

b)       √27
=√3³
=3√3
=3 * 1.73
=5,19

c)        √80
=√(24 * 5)
=2√5
=2 * 2,23
=8,92

d)       √150
=√(2 * 3 * 5²)
=5√6
=5 * 2,44
=12,20 

e)        √200
=√(2³ * 3²)
=10√2
=10 * 1,41
=14,1

f)         √500
=√(2² * 5³)
=2 * 5√5
=10√5
=10 * 2,23
=22,3

g)       √294
=√(2 * 3 * 7²)
=7√2 * 3
=7√6
=7 * 2,44
=17,08

h)       √675
=√5² * 3³
=5 * 3√3
=15√3
=15 * 1,73
=25,95

6.     Considere que a  e b são números reais positivos. Nessas condições, simplifique os radicais: 


a)        √(9a³)
=√(3²a³)
=3a√a

b)       b√(20b²)
=b√(2² * 5 *b²)
=2b²√5

c)       ab³√(27a4)
=ab³√(3³a4)
=3a²b3√a

d)       ab√(a²b5)
=a²b³√(b)

e)        1/2√(176a4)
=1/2√(24 * 11 * a4)
=½ * 2² * a²√11
=2a²√11

f)        1/(ab)√(12a4b3)
=1/(ab)√(2² * 3 * a4b3)
=1/(ab) * 2 * a² * b√(3b)
=2a√3b

g)       1/a2√(50a7)
=1/a2√(2 * 5² * a7)
= (1/a2) * 5 * a³ √2a
=5a√2a

h)       1/4a²b√(48a²b4)
=1/4a²b√(24 * 3 * a²b4)
= (¼) * 2² a²b * ab² √3
=a³b³√3

7.     Sabe-se que a é a raiz quadrada exata de 4096, b é a raiz quarta exata de 1296 e c é a raiz cubica exata de 3375. Qual é o valor da expressão a+b+c? 


a²=4096
a=√4096
a=√212
a=26
a=64

b4=1296
b=4√1296
b=4√(24 * 34)
b=2 * 3
b=6

c³=3375
c=³√3375
c=√(3³ * 5³)
c=3*5
c=15

   a+b+c
=64+6+15
=85

8.     Simplificando os radicais, calcule o valor da expressão 6√729+5√1024-³√125
    6√729+5√1024-³√125
=6√36 + 5√210 - ³√5³
=3+2²-5
=3+4-5
=2

9.     Se A=³√1728 e B=6√64, qual é o valor da razão A/B? 


A=³√1728
A=³√26 * 3³
A= 2² * 3
A=4*3
A=12

B=6√64
B=6√26
B=2
  
A/B
=12/2
=6 


10.  Considerando √3=1,73 e √10=3,16, qual é o valor, na forma decimal, da expressão √1000-√27?
  √10³-√3³
=10√10 - 3√3
=10 * 3,16 * 3 * 1,73
=31.16 – 5.19
=26.41

11.  Simplificando o radical e, em seguida, colocando o fator comum em evidencia, fatore as expressões.


a)        5+√50
=5+√(5² * 2)
=5+5√2
=5(1+√2)

b)       3-√18
=3-√(3² * 2)
=3-3√2
=3(1-√2)

c)        10-√8
=10-√2³
=10-2√2
=2(5-√2)

d)       10+√200
=10+√(2³ * 5²)
=10+10√2
=10(1+√2)


12.  Qual p valor que você vai encontrar ao simplificar a expressão 6√1728 / 6√64?
   6√1728 / 6√64
=6√(26 * 3³) / 6√26
=2 6√3³ / 2
=2 √3 / 2
=√3

13.  Um terreno quadrado tem 9800m² de área. Sendo l a medida do lado desse terreno e considerando √2=1,41, calcule o valor de l.

l²=9800
l=√9800
l=√(2³ * 5² * 7²)
l=2*5*7√2
l=70√2
l=70*1,41
l=98,7

14.  Considere a expressão E=√(ab+c).Qual é o valor de E quando a=40, b=25 e c=200?
E=√(ab+c)
E=√((40)(25)+200)
E=√(1000+200)
E=√1200
E=√(24 * 3 * 5²)
E=2² * 5√3
E=20√3
15.  Qual é o numero que se obtém simplificando a expressão √(32*(0,0004)*25000) , considerando que √5=2,23?


   √(32*(0,0004)*25000)
=√(0.0128 * 25000)
=√320
=√26 * 5
=2³√5
=8√5
=8 * 2,23
=17,84


1.     Transforme em um só radical e determine o valor das expressões a seguir.


a)       √³√√4096
=6√√212
=12√212
=2
b)       √√10000
=4√104
=10

Exercicio P.69
1.     Copie no caderno apenas os itens com igualdades verdadeiras. 

a)     √7+√7 = 2√7
Verdadeiro

b)    √6+√5 = √11
Falso

c)     1+√2 = √3
Falso

d)    √10+√10+√10 = 3√10
Verdadeiro

2.     Escreva na forma mais simples possível as expressões seguintes. 

a)        9√10-5√10
= 4√10

b)        2√5+7√5-16√5
= 2+7-16√5
= -7√5

c)       √6+√6+√6
= 3√6

d)       6 ³√2 - 10 ³√2
= 6-10√2
= -4 ³√2

e)        2√x+2√x+2√x+2√x
= (2+2+2+2)√x
= 8√x

f)           4√3 + 7 4√3 - 11 4√3 + 2 4√3
= (1+7-11+2) 4√3
= (-1) 4√3
= - 4√3  àdeu diferente

g)       5a√10+7a√10-9a√10
= (5a+7a-9ª)√10
= (12a-9ª)√10
= 3a√10

h)       (2+7)√6+2√6-1
= 1+9√6

i)         2√7+2+√7-3-√7
= (2+1-1)√7+2-3
= 2√7-1

j)          2√5+8√2-6√2+8√5-2√2
= (2+8)√5+(8-6-2)√2
= 10√5+0√2
= 10√5+0
= 10√5 
3.     Reduza cada expressão à sua forma mais simples. 

a)       √12+√75-9√3+√27+√48
=√(2² * 3) + √(3*5²) - 9√3+√3³+√(24 * 3)
=2√3+5√3-9√3+3√3+2²√3
= (2+5-9+3+2²)√3
=5√3

b)      4√125+3√45-30√5
=4√5³+3√(3²*5)-30√5
=4*5√5+3*3√5-30√5
=20√5+9√5-30√5
= (20+9-30)√5
=-√5

c)        √54+√6-√150+2√24
=√(2*3³) +√6-√(2*3*5²)+2√(2³ * 3)
=3√(2*3)+ √6-5√(2*3)+2*2√(2*3)
=3√6+√6-5√6+4√6
= (3+1-5+4)√6
=3√6  
4.     Observe o triangulo seguinte, em que aparecem as medidas dos lados, em unidades de comprimento. Qual é o perímetro desse triangulo?

   √28+√112+√175
=√(2²*7)+√(24*7)+ √(5²*7)
=2√7+2²√7+5√7
=2√7+4√7+5√7
= (2+4+5) √7
=11√7

5.     Um número A é tal que:
A=√18+3√50+√98
Fazendo √2=1,41,qual é a forma decimal do numero A?

A=√18+3√50+√98
A=√(2*3²)+3√(5²*2)+ √(2*7²)
A=3√2+3*5√2+7√2
A=3√2+15√2+7√2
A=(3+15+7)√2
A=25√2
A=25*1,41
A=35,25

6.     Calcule:

a)        √(16x)+√(9x)√-√(36x)
=√(24x)+ √(3²x)- √(2² *3²x)
=2²√x+3√-2*3√x
=4√x+3√x-6x
= (4+3-6)√x
=√x

b)       √(8a³)+√(72a³)-√(18a³)
=√(2³a³)+√(2³ * 3²a³)-√(2 * 3²a)
=2a√2a+2*3a√2a-3a√2
=2a√2a+6a√2a-3a√2
= (2a+6a-3a)√2a
=5a√2a

c)       3x√(x²y)-2√(x4y)+6x²√y
=3x*x√y-2*x²√y+6x²√y
=3x²√y+2x²√y+6x²√y
= (3x²-2x²+6x²)√y
=7x²√y

d)       3a√(ab³)-7b√(a³b)+ab√(4ab)
=3ª*b√ab-7b*a√ab+ab√2²ab
=3ab√ab-7ab√ab+2ab√ab
= (3ab-7ab+2ab)√ab
=-2ab√ab

7.     Qual é o valor de x na expressão a seguir
x=1/4√48+1/2√243-1/6√12
x=1/4√(24*3)+1/2√35-1/6√2²*3
x=1/4*2²√3+1/2*3²√3-1/6*2√3
x=1/4*4√3+1/2*9√3-1/3√3
x=√3+9/2√3-1/3√3
x=(1 + 9/2 - 1/3)√3
x=(6+27-2)/6√3
x=(31√3) /6

8.     Qual [e o perímetro de uma região triangular, cujos lados medem 4√486 cm, 4√96 cm e 5√216 cm

   4√486+4√96+5√216
=4√(2*35)+4√(25*3)+5√(2³*3³)
=4*3²√(2*3)+4*2²√(2*3)+5*2*3√(2*3)
=4*9√9+4*4√6+30√6
=36√6+16√6.30√6
= (36+16+30)√6
=82√6

9.     Qual é a forma simplificada da fração a seguir?
   (√28+√175)/ √63
= (√ (2²*7)+ √(5²*7))/ √(3²*7)
= (2√7+5√7) / 3√7
= (7√7)/(3√7)
=7/3

10.  Veja a região retangular a seguir, em que as medidas dos lados são expressas em cm. Qual é o perímetro dessa região retangular? Lado=√40, comprimento=√250.

  √250+√250+√40+√40
=2√250+2√40
=2√(5³*2)+2√(2³*5)
=2*5√(2*5)+2*2√(2*5)
=10√10+4√10
= (10+4) √10
=14√10

11.  Um numero real x é expresso por ³√250-³√16+³√54-³√2. Qual é o numero x?

   ³√250-³√16+³√54 - ³√2
=³√(5³*2) - ³√24 + ³√(2*3³) - ³√2
=5³√2- 2³√2 + 3³√2 - ³√2
= (5-2+3-1)³√2
=5 ³√2

12.  Qual é a forma mais simples de escrever a fração a seguir?

   (√50-√18)/ √200
= (√(5²*2)-√(2*3²))/ √(2³*5²)
= (5√2-3√2)/ 2*5√5
= (2√2) / (10√2)
=1 / 5

13.  Simplificando o numerador, escreva na forma irredutível a expressão.
   (3√20+√80-2√45)/8.
= (3√(2²*5)+√(24*5)-2√(3²*5)) / 8
= (3*2√5+2√5-2*3√5) / 8
= (6√5+4√5-6√5) / 8
= ((6+4-6)√5) / 8
= (4√5) / 8
=√5 / 2

14.  Se x=√2 e y=√98-√32-√8, qual é o valor de x+y?

y=√98-√32-√8
y=√(7²*2)-√25-√2³
y=7√2-2²√2-2√2
y=7√2 - 4√2 - 2√2
y=(7-4-2)√2
y= √2

    x+y
=√2+√2
=2√2

15.  São dados os números reais a, b e c tais que a=1-√27, b=1+√75 e c=2-√108. Determine o valor de: 
a)       a+b+c
=1-√27+1+√75+2-√108
=1+1+2-√3³+√(3*5²)-√(2²*3³)
=4-3√3+5√3-3*2√3
=4+(-3+5-6) √6
=4-4√3
b)       a-b-c
=1-√27-(1+√75)-(2-√108)
=1-√3³-1-√(3*5²)-2+√(2²*3³)
=1-1-2-3√3-5√3+2*3√3
=-2+(-3-5+6)√3
=-2-2√3

16.  Fazendo √52,23 e √2=1,41, qual é o valor do numero real x na forma decimal sabendo que

x=√5000+√500+√50+√5.
x=√2*54+√2*5³+√2*5²+√5.
x=2*5²√2+2*5√5+5√2+√5.
x=2*25√2+10√5+5√2+√5.
x=50√2 + 10√5 + 5√2 + √5
x=(50+5) √2+(10+1) √5
x=55√2+11√5
x=55*1,41+11*2,23
x=77,55+24,53
x=102,08

17.  Sabe-se que A=√243-√162 e B=√300-√50. Qual é o valor de A+B?

A=√243-√162
A=√35-√2*34
A=3²√3-3²√2
A=9√3-9√2

B=√300-√50
B=√(32²*5²*3)-√(2*5²)
B=2*5√3-5√2
B=10√3-5√2

   A+B
=9√3-9√2+10√3-5√2
= (9+10) √3+(-9-5)√2
=19√3-14√2

18.  Considerando √3=1,7 e √2=1,4 dê, na forma decimal, o valor da expressão 4√3-7√18+5√48+√200.
4√3-7√18+5√48+√200
=4√3-7√2*3²+5√24*3+√2*5²
=4√3 - 7*3√2 + 5*2²√3 + 2*5√2
=4√3-21√2+20√3+10√2
=4*1,7 - 21*1,4 + 20*1,7 + 10*1,4
=6,8 - 29,4 + 34 + 14
=25,4

19.     Considerando √3=1,7 e √2=1,4 dê, na forma decimal, o valor da expressão 4√3-7√18+5√48+√200.

4√3-7√18+5√48+√200
=4√3-7√2*3²+5√24*3+√2*5²
=4√3 - 7*3√2 + 5*2²√3 + 2*5√2
=4√3-21√2+20√3+10√2
=4*1,7 - 21*1,4 + 20*1,7 + 10*1,4
=6,8 - 29,4 + 34 + 14
=25,4

Exercício P.72
1.     Efetue as multiplicações:

a)       √5*√7
=√35

b)        5√2a*5√7a
=5√14a²

c)       3*√2*9√3
=27√6

d)      ³√(xy) * ³√(xy)
=³√(x²y²)

2.     Escreva as multiplicações na forma mais simples:

a)    √6*√3
    =√18
    =√(2*3²)
    =3√2

b)      √28 * √21
        =√588
        =√(2² * 7² * 3)
        =2*7√3
         =14√3 

c)    √10 * √20
      =√200
      =√(2³ * 5²)
      =2*5√2
      =10√2

d)       2√21*5√2*√7 
      =10√294
      =10√(7² * 2*3)
      =10*7√6
      =70√6
3.     No retângulo seguinte, as medidas indicadas são dadas em centímetros. Determine: lado=5√2, e comprimento=9√2.
a)     O perímetro do retângulo;
 9√2+9√2+5√2+5√2
= (9+9+5+5)√2
=28√2

b)    A área do retângulo.
 9√2*5√2
=45√2²
=45*2
=90cm²

4.     Qual é a área de um quadrado cujo lado mede 9√5 unidades de comprimento?
(Ao multiplicarmos a medida do lado de um quadrado por ela mesma, obtemos a área do quadrado.)
 9√5*9√5
=81√5
=81*5
=405 
5.     Calcule, na forma decimal, a área do triangulo da figura, adotando  √3=1,73.
Triangulo tem 5√6cm de comprimento e 3√2cm de altura.
(A área de um triangulo é dada pela metade do produto da medida da base pela medida da altura.)

  (5√6*3√2) / 2
=15√12 /2
=(15√(2²*3)) /2
=(15*2√3) / 2
=(30√3) /2
=(30*1,75) /2
=51,9/2
=25,95 cm²

6.     A área de um trapézio é dada pela fórmula A=((B+b)h)/2, em que B representa a medida da vase maior, b representa a medida da vase menor e h representa a medida da altura, Calcule a área do trapézio a seguir: comprimento1=2√5, comprimento2=3√5 e √5 de altura.
A=((B+b)h)/2
A=((3√5 + 2√5)*√5)/2
A=((5√5)*√5)/2
A=(5√5) /2
A=(5*5) / 2
A=25/2
A=12,5

7.     Um bloco tem √12 cm de comprimento, √6 cm de largura e √3 cm de altura. Fazendo √6=2,45, calcule o volume desse bloco.
(O volume de um bloco retangular(paralelepípedo retângulo) á obtido multiplicando entre si as dimensões do bloco)

   √12*√6*√3
=√72*√3
=√216
=√(2³*3³)
=2*3√2*3
=6√6
=6*2,45
=14,7cm³

8.     Considerando que todas as letras representam números reais positivos, efetue as multiplicações: 
a)  ³√x² * ³√x²
    =³√x4
     =x ³√x

b)  6√a5 * 6√x3 * 6√a5
    =6√a13
     =a2 6√a

c)    4√st³ * 4√t
      =4√st4
     =t 4√s
     
d)   5√(a4b) * 5√(ab6)
=5√(a5 b7)
=ab 5√b²

e)   √(a/x) * √((ab)/x)
=√((a²b)/x²)
= (a√b) /x  ou a/b√b

f) 8√(x³y7) * 8√(2x5y)
=8√(2x8y8)
=xy 8√2

g)√((2a)/n) * √((2x)/3) * √((2ax)/n)
= √(2³a²x²) / √(3n²)
= (2ax √2) / n √3
=√(2ax/n)  √(2/3)

Exercicios P.74
1.     Efetue as multiplicações?
a) √2*(√6-√3)
=√12-√6
=√(2²*3)- √6
=2√3-√6
b)       √7*(√7+√2)
=√7²+√14
c)     √10*(5√2-3√10)
=5√20-3√10²
=5√(2² * 5)-3*10
=5*2√5-30
=10√5-30
d)      √5*(7+√5)
=7√5+√5²
=7√5+5 
e)        √15*(√3+√5)
=√45+√75
=√(3²*5)+ √(5²*3)
=3√5+5√3
f)        √8*(2-√6)
=2√8 - √48
=2√2³ - √(243)
=2*2√2 - 2²√3
=4√2 - 4√3
2.     Efetue as multiplicações:
a)        (√2-√6)*( √2+2√6)
=√2²+2√12-√12-2√6²
=2+√12-2*6
=2+√(2²*3)-12
=10+2√3
b)      (5-√7)*(5+√7)
=25+5√7-5√7-√7
=25-7
=18
c)       (3√5-2)*( √5+3)
=3√5²+9√5-2√5-6
=3*5+7√5-6
=15-6+7√5
=9+7√5
d)      (4+√13)*(4-√13)
=16-4√13+4√13-√13²
=16-13
=3
3.     Qual é o valor do numero real A?
A=√6(√2+1)- √2(√3-√6)
A=√12+√6-√6+√12
A= 2√12
A=2√(2²*3)
A=2*2√3
A=4√3
4.     Encontre o valor do numero real x, tal que x=(3-2√3)*(1+√3)
x=(3-2√3)*(1+√3)
X=3+3√3-2√3-2√3²
X=3+√3-2*3
X=3+√3-6
X=-3+√3
5.     Dada a região retangular da figura seguinte, determine:
Lado = (6-√5)cm,  comprimento =(5+√5)cm
a)     O perímetro do retângulo;
 (5+√5)2+(6-√5)2
=10+2√5+12-2√5
=22
b)    A área do retângulo.
(5+√5)(6-√5)
=30-5√5+6√5-√5²
=30+√5-5
=25+√5
6.     Usando a multiplicação, calcule:
a)        (1+√5)²
= (1+√5)(1+√5)
=1+√5+√5+√5²
=1+2√5+5
=6+2√5
b)       (2-√3)²
= (2-√3)(2-√3)
=4-2√3-2√3+√3²
=4-4√3+3
=7-4√3
c)        (√5+√3)²
= (√5+√3)( √5+√3)
=√5²+√15+√15+√3²
=5+2√15+3
=8+2√15
d)       (√7-√2)²
= (√7-√2)( √7-√2)
=√7²-√14-√14+√2²
=7-2√14+2
=9-2√14
7.     Qual é o resultado da multiplicação?
√(7+√5) * √(7-√5)
=√((7+√5)(7-√5))
=√(49-√5²)
=√(49-5)
=√44
=√(2²*11)
=2√11
8.     Qual é o numero real x expresso por √(10+√10)* √(10-√10)?
   √(10+√10)* √(10-√10)
=√((10+√10)(10-√10))
=√(100-√10²)
=√(100-10)
=√90
=√(2*3²*5)
=3√(2*5)
=3√10
9.     A expressão (-5+2√7)*(4+√7)-3√7 pode ser representada por um numero real inteiro. Qual é esse número?
 (-5+2√7)*(4+√7)-3√7
=-20-5√7+8√7+2√7²-3√7
=-20-5√7+8√7+2*7-3√7
=-20+14+(-5+8-3) √7
=-6+0√7
=-6
10.  Considerando √2=1,41, qual é o numero decimal que representa o resultado da multiplicação (4√2+3)*(√2-1)?
 (4√2+3)*(√2-1)
=4√2²-4√2+3√2-3
=4*2+√2-3
=8-3-√2
=5-√2
=5  * 1,41
=3,59
11.  Qual é a forma mais simples de se escrever a fração a seguir?
((4+√2)*(4-√2))/((3+√3)*(3-√3))
= (16-4√2+4√2-√2²) / (9-3√3+3√3-√3²)
= (16-2) / (9-3)
=14/6
=7/3
12.  A propriedade fundamental das proporções nos diz que o “produto dos extremos é igual ao produto dos meios”. Usando essa propriedade, determine o valor de x nas proporções:
a)     x/√6=√24/2
2x=√144
2x=12
X=6
b)    2/(√13+√10)=( √13-√10)/9
9x=(√13+√10)( √13-√10)
9x=√13²-√10²
9x=13-10
9x=3
X=3/9
X=1/3
13.  O volume de um bloco retangular é calculado multiplicando-se as dimensões do bloco. Um bloco retangular tem 9cm de comprimento, (6-√2)cm de largura e (6+√2)cm de altura. Qual é o volume desse bloco, em cm³?
 (6-√2)(6+√2)9
= (36-√2²)9
= (36-2)9
=34*9
=306

Exercicios P.75
1.     Efetue as divisões:


a)        √15/√3
=√5

b)       4√21/4√7
=4√3

c)        √162/√3
=√54
=√(2*3³)
=3√6

d)       √240/√6
=√40
=√(2³ * 5)
=2√10

e)        √90/√5
=√18
=√2*3²
=3√2


f)         5√x9/5√x³
=5√x6
=X 5√x

g)      ³√a8/³√a³
=³√a5
=a ³√a2

h)       4√a5b²/4√ab
=4√a4b
=a4√b


2.     Qual é a forma mais simples de escrever a expressão (√8/*√20)/2?

  √80 / √(24*5)
=2²√5
=4√5

3.     Você já sabe que n√a/n√b=n√(a/b)= n√a:b. Simplifique, então, as expressões:


a)        √40/√5
=√8
=√2³
=2√2

b)       √54/√3
=√18
=√(3²*2)
=3√2

c)        √486/√3
=√(2*35)/ √3
= (3²√(2*3)) / √3
= (9√6)/√3
=9√2

d)      √150/√3
=√50
=√(2*5²)
=5√2

e)        7√x11/7
=7√x8
=x 7√x

f)         √(972x6)/√(3x³)
=√(2² * 35 * x6) / √(3x³)
= (2*3²x³√3) / (x√(3x))
= (18x²) / √x
= (18x²√x) / √x²
= (18x²√x) / x
=18x√x

g)      √(225a³)/√(5a)
=√(5²*3²*a³) / √(5a)
= (5*3a√a) / √5ª
= (15a) / √5
= (15a√5) / √5²
= (15a√5) / 5
=3a√5

h)        5√(192b7)/5√(3b²)
=5√(26*3*b7) / 5√(3b²)
= (2b5√2*3b²) / 5√(3b²)
=2b5√2




4.     Simplifique a expressão ((2+√3)/(2+√6))/((√6-2)/ √3)

   ((2+√3)/(2+√6))*(√3/(√6-2))
= (2√3+√3²) / (2√6-4+√6²-2√6)
= (2√3+3) / (-4+6)
= (2√3+3) / 2
Exercicios P77
1.     Reduza ao mesmo índice os radicais a seguir.


a)       ³√2, √3
=6√2² , 6√3³

b)        7√a³, ³√b²
=21√a9, 21√b14

c)         4√3*√3
=20√3820√315

d)       14√25, 21√29
=42√215 , 42√218

e)        14√25, 21√29
=30√36 , 30√25, 30√28

f)         5√34, 10√6, √2
=10√38 , 10√6 , 10√25





2.     Reduza os radicais ao mesmo índice; em seguida compare cada par de radicais usando os sinais > ou <.


a)     10√2 e15√2²
30√2³  < 30√24

b)    12√310 e 18√311
36√330  >  36√322

c)     6√25 e 9√27
18√215 > 18√214

d)    8√2³ e 6√2³
24√29 < 24√212

         Exercicios P.77
1.     Efetue as operações indicadas. Simplifique o resultado quando possível.


a)        ³√10*5√10
=15√105 * 15√10³
=15√108

b)      √7 / 5√7
=10√75 / 10√7²
=10√73

c)        4√3 *√3
=4√3 * 4√3²
=4√3³

d)      √2 / 20√27
=20√210 / 20√27
=20√23

e)         6√5² / 10√5³
=30√510 / 30√59
=30√5

f)         6√75 / ³√7²
=6√75 / 6√74
=6√7

g)        4√2³ * 5√24 * 10√27
=20√215 * 20√216 * 20√214
=20√245
=2 20√25
=4 4√2

h)       8√65 / 12√6²
=8√65 / 6√6
=24√615 / 24√64
=24√611

2.     Sabendo que a e b são dois números reais positivos, escreva a expressão algébrica que representa o resultado de:


a)         8√(a5b³) / 6√(ab²)
=24√(a15b9) / 24√(a4b8)
=24√(a11b)

b)        9√(a7b6) / 6√(a³b²)
=18√(a14b12) / 18√(a9b6)
=18√(a5b6)

            Exercicios P.79
1.     Calcule:

a)       (√17)²
=√17²
=17

b)      (³√2)4
=³√24
=2 ³√2
c)      (6√2)²
=6²√2²
=36 * 2
=72



d)       (1/2√10)²
= (½)²√10²
=¼ *10
=10/4
=5/2




2.     Sabendo que a e b são números reais positivos, escreva a expressão algébrica mais simples que representa a expressão:


a)       (a√b)²
=a²√b²
=a²b

b)      (b ³√a)4
=b4 ³√a4
=ab4 3√a

c)        (ab ³√b)4
=a4b4 ³√b4
=a4b5 ³√b

d)       (a/b√(ab))²
=a2/b2√(a2b2))
= (a2/b2)ab
=a3/b

3.     Determine  o valor da expressão 4√8-(√2)³

  4√8-(√2)³
=4√2³-√2³
=4*2√2-2√2
=8√2-2√2
= (8-2)√2
=6√2
4.     Sendo x=2√3 e y=3√2, calcule o valor de x² * y².
   x² * y²
= (2√3)² * (3√2)²
=2²√3² * 3²√2²
=2 * 3 * 9 * 2
=6*18
=108
5.     Sabendo que a =√10 e b=2√5, calcule o valor de a²-b²+10.
   (√10)²-(2√5)²+10
=√10²-2²√5²+10
=10-4*5+10
=10-20+10
=0

6.     Aplicando a regra dos produtos notáveis, calcule:


a)     (√3+√2)²
=√3²+2√(3*2)+√2²
=3+2√6+2
=5+2√6

b)      (1-√7)²
=1²-2√7+√7²
=1-27+7
=8-2√7

c)       (4√2+5)(4√2-5)
=4²√2²-5²
=16*2-25
=32-25
=7


d)      (2+√10)²
=2²+4√10+√10²
=4+4√10+10
=14+4√10

e)       (√11+√7)( √11-√7)
=√11²-√7²
=11-7
=4

f)        (3√3+√2)²
=3²√3²+2*3√3*2+√2²
=9*3+6√6+2
=27+6√+2
=29+6√6


g)      (7+√19)(7-√19)
=7²-√19²
=49-19
=30

h)        (-3√5+1)(-3√5-1)
= (-3)² √5²-1²
=9*5-1
=45-1
=44

i)        (2√7+3√5)²
=2²√7²+2*2*3√(7*5)+3²√5²
=4*7+12√35+9*5
=28+12√35+45
=73+12√35

7.     Calcule a área dos seguintes quadrados:


a)     Lado: 3+√3 por 3+√3
  (3+√3)²
=3²+2*3√3+√3²
=9+6√3+3
=12+6√3

b)    Lado: 5 -√7 por 5-√7
  (5 -√7)²
=5²-2*5√7+√7²
=25-10√7+7
=32-10√7

8.     Sabe-se que a=√5+√3. Qual é a expressão que representa a²?
    A²
= (√5+√3)²
=√5²+2√15 +√3²
=5+2√15+3
=8+2√15

9.     Quando x=3+√2, qual é o valor numérico das expressões?


a)         X²-6√2
= (3+√2)²-6√2
=3²+2*3√2+√2²-6√2
=9+6√2+2-6√2
=11

b)       X²-4x-4
= (3+√2)²-4(3+√2)-4
=3²+2*3√2+√2²-12-4√2-4
=9+6√2+2-12-4√2-4
=-5+2√2

10.  Dada a igualdade x²-4x+2=0, verifique se ela é verdadeira para x=2+√2.

     x²-4x+2=0
à (2+√2)²-4(2+√2)+2=0
à2² + 2*2√2 + √2² - 8 - 4√2 + 2=0
à4 + 4√2 + 2 - 8 - 4√2 + 2=0
à4 + 2 + 2 + 4√2 - 4√2 =0
à0=0
Verdadeiro

11.  Sabendo que a=8+√6 e b=8-√6, calcule o valor de a²+b².

   a²+b².
= (8+√6)²+(8-√6)²
=8²+8*2√6+√6²+8²-8*2√6+√6²
=64+16√6+6+64-16√6+6
=140

12.  Determine o numero real inteiro que representa a expressão:
  (√21+√13)*( √21-√13)-( √10+√7)*( √10-√7)
=√21²-√13²-(√10²-√7²)
=21-13-(10-7)
=8-3
=5

13.  Escreva na forma mais simples possível: ((3+2√5)²-√720-18)

   ((3+2√5)²-√720-18)
=3²+3*2*2√5+2²√5²-√(24*3²*5)-18
=9+12√5+4*5-2²*3√5-18
=9+12√5+20-12√5-18
=11

14.  Qual é a forma mais simples de escrever a expressão a seguir?
  (√7+√5)²-( √7+√5)*( √7-√5)
=√7²+2√(7*5)+ √5²-(√7²-√5²)
=7+2√35+5-(7-5)
=7+2√35+5-2
=10+2√35

15.  Simplifique a fração a seguir. (√6+√2)²/  ((√7+√3)*( √7-√3))

    (√6+√2)²/  ((√7+√3)*( √7-√3))
= (√6²+√12+√2²) /  (√7²-√3²)
= (6+2√(2³*3)+2) / (7-3)
= (8+2*2√3) / 4
=(8+4√3) / 4
=(4(2+√3)) / 4
=2+√3




Exercicios P.81
1.     Resolva as equações, não esquecendo de fazer a verificação dos valores encontrados.


a)     √(3x)=6
√(3x)²=6²
3x=36
X=36/3
X=12

b)    √(3x-2)=5
√(3x-2)²=5²
3x-2=25
3x=25+2
3x=27
X=9

c)     √(2x+1)=-3
√(2x+1)²=(-3)²
2x+1=9
2x=8
X=8/2
X=4 à Não deu certo

d)    2√x=4
(2√x)²=4²
2²√x²=16
4x=16
X=16/4
X=4


e)     3√x=12
(3√x)²=12²
3²√x²=144
9x=144
X=144/9
X=16

f)      √(x²+3x-9)=x
√(x²+3x-9)²=x²
x²+3x-9=x²
x²-x²+3x=9
3x=9
X=9/3
X=3


g)    √(2x+5)= √(x+8)
√(2x+5)²= √(x+8)²
2x+5= x+8
2x-x=8-5
X=3

h)    3√2x=6
(3√2x)²=6²
3²√2²x²=36
9*2x=36
18x=36
X=2


2.     Determine o conjunto solução da equação √(x²+2)=x+1.

√(x²+2)=x+1
√(x²+2)²=(x+1)²
x²+2=x²+2x+1
x²-x²-2x=1-2
-2x=-1
-x=-1/2   (-1)
X=1/2

3.     Qual é o valor real de x na equação?

√(5x+2)=√(-6+9x)
√(5x+2)²=√(-6+9x)²
5x+2=-6+9x
5x-9x=-6-2
-4x=-8
-X=-8/4
-x=-2  (-1)
X=2





4.     Determine o numero x para que se tenha √(x-5)=3/√(x-5), com x≠5.


√(x-5)²=(3/√(x-5))²
x-5=3²/√(x-5)²
x-5=9/(x-5)
(x-5)²=9
x²-10x+25=9
x²-10x+16=0


Δ=b²-4ac
Δ=10²-4(1)(16)
Δ=100-64
Δ=36

X=(-b±√Δ)/2a
X=(-(-10)± √36)/2(1)
X=(10±6)/2
X’=(10+6)/2
X’=16/2
X’=8

X”=(10-6)/2
X”=4/2
X”=2


S={8 e 2}

Exercicios P.85

1.     Racionalize o denominador das seguintes expressões:


a)        2 / √10
=2√10 / √10²
=2 √10/ 10
=√10/ 5

b)       6 / √6
=6√6 / √6²
=6√6 / 6
=√6

c)       9 / √3
=9√3 / √3²
=9√3 / 3
=3√3

d)     √5 / √2
= (√5 * √2) / √2²
=√10 / 2

e)        20 / (2√5)
=20√5 / (2√5²)
=20√5 / (2*5)
=20√5 / 10
=2√5

f)        3 / √6
=3√6 / √6²
=3√6 / 6
=√6 / 2

g)       20 / (3√10)
= (20√10) / (3√10²)
= (20√10) / (3*10)
= (20√10) / 30
= (2√10) / 3



h)       1 / √7
=√7 / √7²
=√7 / 7

i)      (2√3) / (5√2)
= (2√3) / (5√2)
= (2√3*√2) / (5√2²)
= (2√6) / (5*2)
= (2√6) / 10
=√6 / 5

j)         (7√3) / (2√7)
= (7√3*√7) / (2√7²)
= (7√21) / (2*7)
= (7√21) / 14
=√21 / 2





2.     Racionalize o denominador das expressões seguintes:


a)        (1-√3) / √3
= (1-√3) √3 / √3²
= (√3-√3²) / 3
= (√3-3) / 3

b)       (3-√2) / √2
= (3-√2) √2/ √2²
= (3√2-√2²) / 2
= (3√2-2) / 2

c)         (√5+√2) / √5
= (√5+√2) √5 / √5²
= (√5²+√2*√5) / 5
= (5+√10) / 5


3.     Sabendo que x e y são números reais positivos, racionalize o denominador das seguintes expressões:


a)        x /√x
=x√x /√x²
=x √x /x
=√x

b)      x /(2√y)
=x√y /(2√y²)
=x√y /(2y)

c)       (xy) / (5√x)
=(xy√x) / (5√x²)
=y√x / 5

d)       (x√y) / (y√x)
= (x√y*√x) / (y√x²)
= (x√(xy)) / (yx)
= (√xy) / y


4.     Você sabe que n√(a/b)= n√a / n√b. Racionalize o denominador das expressões:


a)       √(3/10)
=√3/√10
= (√3*√10)/√10²
=√30/10

b)      √(5/3)
=√5/√3
= (√5*√3)/√3²
=√15/3







c)       √(1/2)
=√1/√2
=√2/√2²
=√2/2

d)       √(1/8)
=√(1/√8)
=√(2³/√8²)
=2√(2/8)
=√2/4






e)        √0,9
=√(9/10)
=√9/√10
= (√9*√10) / √10²
=√90/10
=√(2*3²*5)/10
=3√10/10

f)         √(5/8)
=√5/√8
= (√5*√8) / √8²
=√40/8
=√(2³*5)/8
=2√(2*5)/8
=√10/4


5.     Considerando √6=2,449, √2=1,414 e √10=3,162, calcule o valor na forma decimal das expressões:


a)       √(3/2)
=√3/√2
= (√3*√2)/ √2²
=√6/2
=2,449/2
=1,2245

b)       √(2/5)
=√2/√5
= (√2*√5)/ √5²
=√10/5
=3,162/5
=0,6324

c)        √(1/2)
=√1/√2
=√2/√2²
=√2/2
=1,414/2
=0,707


6.     Racionalize o denominador das expressões a segui:


a)        1 / 5√6³
=5√6² / 5√6³
=5√6² / 5√6³ * 5√6²
=5√6²/ 5√65
=5√6²/6

b)       15 / ³√5
=15 ³√5² / ³√5 *³√5²
=15 ³√5² / ³√5³
=15 ³√5² / 5
=3 ³√5²

c)       2 / 9√27
=2 9√22/ 9√27*9√22
=2 9√22/ 9√29
=2 9√22/ 2
=9√22

d)      6 / 10√35
=6 10√35/ 10√35 * 10√35
=6 10√35/ 10√310
=6 10√35/ 3
=210√35

e)       4/4√8³
=44√8/4√8³ *4√8
=44√8/4√84
=44√84/8
=4√8/2

f)        20 11√103/ 11√108 *11√103
=20 11√103/ 11√1011
=20 11√103/ 10
=2 11√103


7.     Racionalize o denominador das seguintes expressões:

a)        1/(3-√6)
=1(3+√6)/(3-√6) (3+√6)
= (3+√6) / (3²-√6²)
= (3+√6) / (9-6)
= (3+√6) / 3

b)      2/(√5+√3)
=2(√5-√3) / (√5+√3) (√5-√3)
= (2√5-2√3)/(5-3)
= (2√5-2√3)/2
=√5-√3

c)       1/(4-√5)
=1(4+√5)/(4-√5)(4+√5)
= (4+√5) / (4²-√5²)
= (4+√5)/(16-5)
= (4+√5)/ 11

d)       11/(2√3-1)
= (22√3+11) / (4√3²-1²)
= (22√3+11) / (4*3-1)
= (11+22√3) / (12-1)
= (11(1-2√3)) / 11
=1+2√3

e)        (2-√2) / (3+√2)
= ((2-√2)(3-√2)) / ((3+√2)(3-√2))
= (2*3-2√2-3√2+√2²) / (3²-√2²)
= (6-5√2+2) / (9-2)
= (8-5√2) /7

f)          (2-2√2) / (2-√2)
= ((2-2√2)(2+√2)) / ((2-√2)(2+√2))
= (4+2√2-4√2-2√2²) / (2²-√2²)
= (4-2√2-2*2) / (4-2)
= (4-2√2-4) / 2
= (-2√2)/2
=-√2

g)        (1+√5) / (√3+√5)
= (1+√5)( √3-√5) / ((√3+√5)(√3-√5))
= (√3-√5+√15-√5²) / (√3²-√5²)
= (√3-√5+√15-5) / (3-5)
= (√3-√5+√15-5) / -2
= (-√3+√5-√15+5) / 2

h)       (√3-√2) / (√3+√2)
= (√3-√2)(√3-√2)  / (√3+√2)(√3-√2)
= (√3²-2√6+√2²)  / (3-2)
= (3-2√6+2)  / 1
=5-2√6



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